Dia 1

Matematicas

Vimos un video motivacional el primer dia, creo que era sobre un entrenador haciendo que su alumno diera todo de si, pero vendado, y lo logro.

Despues de eso tuvimos que hacer una historieta de como creiamos que aparecieron las matematicas, cuando terminamos, nos hablo de los numeros naturales.

Los numeros naturales

Antes de que surgieron los numeros el ser humano se las ingenio para poder hacer varios trazos en piedras, o otras cosas, como en mesopotamia se trazaban en la arena todas sus operaciones

Desde los tiempos primitivos, el hombre ha sentido la necesidad de. aunque haya sido dificil de decir como se ha dicho cuales son os numeros o como le hicieron, era casi como cuando no tienes idea de como empezar a hablar.

Definicion de numero

En matematicas los codigos son diferentes, se empiexan con numeros y despues siguen, numeros negativos, significa relacionado al aprendizaje

nos dijo de lo que significa cada parte de la matematica

calidad referida a las magnitudes (geometria)

a los numeros (aritmetica)

y a ambos (algebra)

ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas

Numeros naturales

0,1,2,3,4,5,6,7

-1= negativo 1= positivo

Propiedades de la multiplicacion

Asociativa, Elemento neutro, comunicativa, distributiva

La adicion en los numeros naturales

Asociativa

Agrupa los elementos de la suma (a + b)+ c = a +(b + c)

Elemento neutro

En la suma es 0 7 + 0 = 0

Comunicativa

Si a, b son numeros naturales cualesquiera, se cumple que a + b = b + a

Dia 2

Propiedades de la sustracion de numeros naturales

Igual que la suma de la resta es una operacion que se derive de l operacion de contar

Propiedades de la multiplicacion de numeros naturales

Asociativa, conmutativa elemento neutro.

distributiva del producto respecto de la suma

Si a,,c son numeros naturales cualesquiera se cumple que

a (b + c) = (a) (b) + (a) (c)

Propiedad de la division de los numeros naturales

La casa de la division se llama Galera

348 + 654 = 1002 852 + 658 = 1510

Dia 3

Elemetos de las operaciones basicas

El maestro nos habia dejado de tarea que teniamos que hacer un cuadro y donde teniamos que poner los elementos de la peracion basica.

Suma: sumados, signo, suma o total

Resta: minuendo, sustraendo, signo, diferencia

Multiplicacion: factor, factor, signo, producto

Division. Cociente, dividendo, divisor, residuo, galera

Propiedades de la suma y la multiplicacion

El maestro tambien nos dejo de tarea poner sobre las propiedades de estas dos operaciones

la propiedad asociativa

Indica que, cuando existen tres o mas cifras en estas operaciones, el resultado no depende de la menra en que se agrupan.

(2 + 6) + 4 = 2 + (6 + 4)

8 + 4 = 2+10

12 = 12

La propiedad conmutativa

Es decir que cuando tienes que resolver una suma, o multiplicacion, no importa como tu lo coloques, siemore obtendras el miso resultado.

4 + 2 = 6 2 + 4 = 6

La propiedad del elemento neutro

Dice que para cualquier numero al que se sume o se multiplique dara el mismo resultado

suma: 0 multiplicacion; 1

4 + 0 = 0 5 x 1 = 0

La propiedad distributiva

Nos afirma que la multiplicacion del dicho numero pr cada una de los sumadores o bueno cuando los numeros se suman pueden dar el resultado de la multiplicacion o viceversa

3 ( 4 + 1 ) = ( 4 + 1) ( 4+1 ) ( 4 + 1 ) ( 4 + 1 )

Dia 4

Pescomposicion de un numero de sus factores primos

multiplicacion y submultiplos

El multiplo de un numero es resultado de dicho numero por cualquier otro numero

5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75

12,24,36,48,60,72,

Divisor o submultiplo

Son todos aquellos numeros naturales que me dividen a otro numero natural en forma excelente

1 = 1 unitario 5 = 1,5 Primo

2 = 1,2 Primo 6 = 1,3,6 compuesto

3= 1,3 Primo 7 = 1,7 Primo

4= 1,2,4 compuesto 8 = 1,4,8,2 compuesto

Numero primo es aquel numero que solo tiene 2 el mismo y la unidad

Numero compuesto es aquel numero que tiene mas de dos divisores

El numero 1 recibe el numero de unitario

Despues de eso hicimos un cribo

Divisibilidad entre dos

Un numero tiene division exacta entre 2 cuando su ultima cifra sea 0 o par entre dos: 0,2,4,6,8

Divisibilidad entre tres

Para saber si un numero se divide entre 3 se tienen que sumar todas sus cifras, y si el resultado da un multiplo de 3

Divisibilidad entre 5

Entre 5 el ultimo digital de la cifra tiene que ser 0 o 5

Divisibilidad entre 4

Entre 4 el ultimo digito de la cifra tiene que ser divisible entre 4

Divisibilidad entre 6

Tiene que ser divisible por 2, 4,6,8 y que al mismo tiempo la suma de todos sus digitos es un multiplo de 6.

Despues vimos un video motivacional sobre la pelicula de En busca de la felicidad 💖

Dia 5

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

¿Qué es el mínimo común múltiplo?

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo más pequeño que esos números tienen en común.

El mínimo común múltiplo se suele expresar con las siglas m.c.m. (a, b), siendo a y b los números.

¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo, m.c.m?

Vamos a aprenderlo con un ejemplo, calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324.

m.c.m. (180,324)

1. Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números, empezamos por descomponer esos números en factores primos.

2. El mínimo común múltiplo se obtiene cogiendo todos los factores (comunes y no comunes), elevados a la máxima potencia. Es decir cogemos todos los factores, pero los que se repitan los cogemos elevados a la máxima potencia.

m.c.m. (180,324)= 22x5x34

El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, en ambos casos está elevado a 2.

El 5 sólo aparece en la descomposición de 180, pero tenemos que coger todos.

El 3 aparece como factor en ambas descomposiciones, pero cogemos el denominador más elevado.

3. Hacemos la multiplicación y obtenemos el mínimo común múltiplo.

m.c.m. (180,324)= 22x5x34= 1620

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor de dos o más números es el número más grande por el que se pueden dividir dichos números.

El máximo común divisor se suele expresar con las siglas M.C.D. (a,b), siendo a y b los números.

¿Cómo se calcula el máximo común divisor (M.C.D)?

Vamos a aprenderlo con un ejemplo, calculamos el máximo común divisor de 180 y 324.

M.C.D. (180,324)

1. Para calcular el máximo común divisor de dos o más números, empezamos por descomponer esos números en factores primos.

2. El máximo común divisor se obtiene cogiendo solo los factores primos comunes a los números que hemos descompuesto, elevados al menor exponente. Es decir cogemos solo los factores comunes y los que se repitan los cogemos elevados a la mínima potencia.

M.C.D. (180,324)= 22x32

El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, en ambos casos está elevado a 2.

El 3 aparece también como factor común pero en este caso cogemos elevado a la mínima potencia.

El 5 no le cogemos porque no es un factor común.

3. Hacemos la multiplicación y obtenemos el máximo común divisor

M.C.D. (180,324)= 22x32= 36

EJEMPLO. Calculamos el mcm y el MCD de 96, 240 y 180

1. Descomponemos

2. Escogemos los factores

m.c.m. (180,96, 240)= 25x5x32

El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, el mayor exponente es 5.

El 5 aparece en la descomposición de 180, y 240 pero tenemos que coger todos.

El 3 aparece como factor en ambas descomposiciones, pero cogemos el denominador más elevado.

M.C.D. (180,96, 240)= 22x3

El 2 aparece como factor primo en las 3 descomposiciones, el menor exponente es 2.

El 3 aparece también como factor común pero en este caso cogemos elevado a la mínima potencia.

El 5 no le cogemos porque no es un factor común.

3. Calculamos

m.c.m. (180,96, 240)= 25x5x32=1440

M.C.D. (180,96, 240)= 22x3= 12

Numeros enteros

Positivos

Negativos

Cero

En la recta numerico el origen es 0

En general:

El valor absoluto de un numero entero positivo es el mismo numero

Todo numero tiene un opuesto 7 -7

Operaciones con los numeros enteros

Adicion con nueros enteros

Son numeros positivos 4 + 2= valor absoluto de 4 es 4 valor absoluto de 2 es 2 y el resultado es 6

Si tengo ( -8 ) + ( -10 ) = -18

Cuando tenemos numeros con diferente signo se van a RESTAR sus valores absolutos pero el signo resultante va a ser el del mayor

-10 el valor absoluto es 10 o el opuesto

( -15 ) + ( 10) = -5

Suma con numeros enteros

Ley de los signos

( + ) ( + ) = + ( - ) ( - ) = + ( - ) ( + ) = - ( + ) ( - ) = -

La ley de los signos es para la multiplicacion y division

Division con numero naturaless y enteros

24 / 6 = 4 12/ 4 = 3

Potencia y raiz cuadrada en nueros enteros

La potencia de un numero consiste en multiplicar a l base del numero de veces que nos indica el exponente.

( 2 )2 = ( -2 ) ( -2) = 4

Numeros racionales

Concepto de fraccion: Parte dividida o separada de un todo considerada por separado.

Concepto de numero decimal: Concepto matemático que expresa una cantidad con relación a la unidad de cómputo; resulta de contar los elementos que forman un conjunto.

Concepto de fraccion propia: Fracción en la que el numerador es menor que el denominador.

Concepto de fraccion impropia: Fracción en la que el numerador es mayor que el denominador.

Conepto de fraccion mixta: Las fracciones mixtas (también llamadas números mixtos o fracciones con enteros) son la suma de un número entero y una fracción propia. Es más fácil ver el significado de la fracción mixta de la siguiente manera. Una fracción mixta es una cantidad de unidades enteras más la parte de otra unidad.

Concepto de fraccion aparente:Fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es múltiplo del denominador. Si dividimos el numerador por el denominador obtenemos un número entero.

Despues de buscar todas las definciones de esto, hicimos un esquema.

Operaciones con nomeros racionales

Suma o adicion

on igual denominador

el numero se suma y se pasa el denominador

Propiedades para la suma de fracciones y decimales

Propiedad conmutativa

La suma de dos fracciones cualesquiera no depende del orden de los sumados. Esto significa que podemos sumar fracciones en el orden que queramos

a / b + c / d = c / d + a / b

Propiedad asociativa

La suma de varias fracciones no depende del orden en que se asocian. Esto significa que cuando tenemos sumas de varios fracciones podemos empezar a sumar las fracciones por donde nosotros queramos

( a / b + c / d ) + m /n = a / b ( c / d + m / n )

Elemento neutro para la suma

El elemento neutro para la suma de fraccion es el cero porque si a cualquier fraccion le sumamos el cero, obtenemos la misma fraccion.

a / b + 0 = a / b

Elemento Las fracciones opuestas o simetricas son fracciones que si se suman el resultado es cero.

a / b = - a / - b = 0

Operaciones con numeros racionales

Suma de fracciones con iguales denominadores

En este caso solamente se suman los numeradores tomando en cuenta sus signosy se recorre el mismo denominador

a / b + c / b = ac / b

Suma de fracciones con diferente denominador

a / b + c / b = bc +ad / bd = bcad / bd

Para resolver estas operaciones tenemos que hacer el metodo de la mariposa para suma de fracciones

Fracciones operaciones de suma o resta}

La suma o resta se resuelve a traves del metodo de la mariposa

En la multiplicacion se multiplica el denominador se multiplica con numerador y viceversa

En la division se multiplica el denominador con el denominador y el numerador con el denominador

Los numeros reales

En matematicas, el conjunto de los numeros reales incluye tanto a los numeros racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los irracionales y en otro enfoque, transcedentes y algebraicos. Los irracionales, los trascedentes y algebraicos.

Numero racionales:

-3 / 4 , 5 / 8

Numeros enteros:

-7, -1, 0, 5, 20

Numeros irracionales:

√5. 2.2360679775.
√123. 11.0905365064.
En si los numeros reales incluyen a los numeros naturales o numeros ontables, numeros enteros positivos, negativos y el cero.
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3
Propiedades de suma y multiplicacion
Propiedad conmutativa
En algebra, la operacion de suma es conmutativa. El orden cual suma soa numeros reales no modifica el resultado no modifica el resultado y como se ve a continuacion
( +7 ) + ( + 20 ) = 27
Identidad aditiva
La identida aditiva para la s uma de numeros reales es cero
Inverso aditivo
El inversa aditivo de la suma es el opuesto del numero real cualesquiera su inverso aditivo es - a
Propiedad asociativa
Propiedad clausura
La propiedad de clausura de la suma de dos numeros reales cualesquiera es un numero real. Si a, b y c son numeros reales, entonces a + b = c.
Propieda onmutativa
La propieda conmutativa de la suma estable que el orden en elcual se suman dos nnumeros, no afaecta a la sum. Si a y b son numeros reales, emtonces a ++ b = b + a.
Concepto de razon
La comparacion de dos cantidades por medio de una divison.
En un mercao hay una caja con 20 naranjas, de esas 20, 5 son malas estao significa que
20 es el total 5 son malas 0.25 = 25%
5 / 20 = 1 / 4 de cada 4 naranjas una es mala
La compararcion de dos cantidades por medio de una division
Razones y Proprciones
Razon: Cociente entre dos numeros o cantidades comparables entre si
Igauladad entre proporciones El producto de los factores tiene que dar el mismo resultado
Proporcionalidad directa: Mientras una antidad aumenta, la otra tambien, por si disminuye una cantidad la otra tambien
Regla de 3: Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al omentar una disminuye la ootra en la misma proporcion
Estadisticas
Concepto de estadistica: Ciencia que utiliza conjuntos de datos numéricos para obtener, a partir de ellos, inferencias basadas en el cálculo de probabilidades.
Tipos de estadistica;
Tipos de estadística
A continuación se presentan los principales tipos de estadísticas aplicadas en diversos estudios.
Estadística descriptiva
La estadística descriptiva o deductiva permite presentar de manera resumida y organizada los datos numéricos obtenidos tras un estudio o análisis en particular. Su objetivo, por lo tanto, es describir las características principales de los datos reunidos y evitar generalizaciones.
Estadística inferencial
La estadística inferencial o inductiva es el estudio que utiliza técnicas a partir de las cuales se obtienen generalizaciones o se toman decisiones en base a una información parcial o completa obtenida mediante técnicas descriptivas.
Su objetivo es extraer conclusiones de utilidad sobre el total de las observaciones posibles basándose en la información obtenida.
Estadística aplicada
La estadística aplicada hace uso de los métodos expuestas anteriormente, y permite realizar inferencias a partir de una o varias muestras de una determinada población como objeto de estudio. De esta manera se pueden ofrecer resultados tanto específicos como generalizados.
La estadística aplicada se utiliza en diversas ciencias, como la historia, la economía, la educación o la sociología para realizar estudios y análisis estadísticos.
Estadística matemática
Se trata de la estadística que arroja datos aleatorios e inciertos, por ello hace uso de la teoría de la probabilidad, una rama de las matemáticas que estudia estos casos.
Probabilidad estadísticLa probabilidad estadística es una forma de medición de la certidumbre que asociada a la observación u ocurrencia de un fenómeno o al hecho de que una característica de un objeto de estudio adopte cierto valor. Se puede simplificar dividiendo el número de ocurrencias de un hecho entre el número total de casos posibles.
Objeto de estudio de la estadistica: El objetivo básico de la estadística es hacer inferencia acerca de una población con base a la información contenida en una muestra (vea las figuras al final de esta sección). ... Definido este número de jóvenes a los cuales, mediante técnicas de consulta adecuadas, se entenderá como una muestra de la población en estudio.
Conceptos y / o elementos que utiliza la estadistica
Elementos de la Estadística
- Universo o población: esto representa al total del conjunto de objetos o elementos de los cuales se quiere conseguir información. Por lo tanto, el término tiene un significado más extenso que el usual, debido a que puede representar a cosas, actos, áreas geográficas, personas e inclusive el tiempo. Es importante que la población está afinadamente determinada en el espacio y en el tiempo, de manera que ante la figura de un potencial componente de la misma, se pueda concluir si forma parte o no de la población bajo análisis. Consecuentemente, al detallar una población, se debe preservar que el conjunto de manuales que la conforman quede cabalmente delimitado. Por ejemplo, si se está analizando las escuelas de secundarias, se debe detallar cuáles y cuándo: escuelas secundarias de la Capital Federal en el año 1993. Asimismo, se puede afirmar que el tamaño de una población viene dado por el conjunto de elementos que la conforman.
- Unidad de análisis: es el objeto del cual se quiere adquirir información. Varias veces se hace informe a los mecanismos de observaciones con el nombre de elementos. En estadística, una unidad o aparato de análisis puede ser algo con presencia efectiva, como un apartamento o un autobús, o algo más neutro como la temperatura o un descanso de tiempo. Dada esta tesis, puede rediseñar la población como el conjunto de módulos de análisis
¿Que es una grafica?
Un gráfico es una representación visual figurativa que describe conceptos y relaciones. Los gráficos estadísticos plasman datos conceptuales o numéricos y muestran la relación que estos datos poseen entre sí.
¿Para que se utiliza una grafica en estadistica?
Comúnmente son utilizadas para representar relaciones funcionales entre variables numéricas o cuando se tiene una cantidad importante de datos estadísticos. ... En general, para representar las gráficas se utilizan recursos como líneas, puntos, vectores, barras, mapas y símbolos.
¿En que consiste la grafica de barras?
Una gráfica de barras tiene barras rectangulares con longitudes proporcionales a los valores que representan. Las gráficas de barras se utilizan para comparar dos o más valores. Las barras pueden ser horizontales o verticales.
¿En que consiste la grafica poligonal?
Es un tipo de gráfico para expresar datos; los intervalos se colocan en el eje X, y las frecuencias en el eje Y, para poder graficar se le aumenta un intervalo con frecuencia 0(cero). Ejemplos de gráficas poligonales.
¿Que es un histograma?
En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
¿En que cosiste la circular o de pastel?
Un gráfico circular o gráfica circular, también llamado "gráfico de pastel ", "gráfico de tarta", "gráfico de torta"o"gráfica de 360 grados", es un recurso estadístico que se utiliza para representar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de una gráfica circular suele ser de más de cuatro.
¿Que grafica se utiliza para una variable cuantitativa discreta?
Podemos representar los datos en tres gráficos, diagrama de barras, polígono de frecuencias y gráfico de sectores. Diagrama de barras, usado para variables cuantitativas discretas. En el eje OX se señalan los valores de la variable y en el eje OY los valores de la frecuencia absoluta.
¿Que grafica se utiliza para una variable cuantitativa continua?
Cuando las variables son continuas, utilizamos como diagramas diferenciales los histogramas y los polígonos de frecuencias. Un histograma se construye a partir de la tabla estadística, representando sobre cada intervalo, un rectángulo que tiene a este segmento como base.
Expresiones algebraicas
Una Expresion algebraica tiene 4 elementos
El signo ( + o - )
El coeficiente ( entero, fraccion, o deciamal )
Parte literal ( a, b ,c, d, x, y, z )
El exponente o exponentes ( positivos, negativos o fraccionarios )
Rerminos algebraicos
Monomio 1 = 4 abc
Binomio 2 = 3 hjc + 7 abnv
Trinomio 3 = 5 ahdbrg + 6 jsbfe + 8 hjkl
Polinomio 4 o mas= 6 ab + km + 9 mnj + 7 kny
Lenguaje algebraico
El cubo de un numero cualquiera x3, a2
El cubo de un numero menos el triple de otro 2a - 3b
El cociente de dos numeros cualquiera a / b
Ley de exponentes

Leyes de los exponentes

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

La potencia o potenciación consiste en la multiplicación de un número por sí mismo varias veces, y se representan gráficamente de la siguiente manera: xy.

El número que se ha de multiplicar por sí mismo es llamado base y el número de veces por el que se ha de multiplicar es llamado exponente, el cual es más pequeño y debe situarse a la derecha y arriba de la base.

Por ejemplo,

Ahora bien, en operaciones de suma, resta, multiplicación y división con una o varias potencias, ¿cómo proceder? Las leyes de los exponentes nos guían para resolver estas operaciones de la manera más simple posible. Veamos.

1) Potencia cero

1) Todo número elevado a la 0 es igual a 1.

Por ejemplo,

x0 = 1

50 = 1

370 = 1

2) Potencia a la 1

Todo número elevado a 1 es igual a sí mismo.

Por ejemplo,

x1 = x

301 = 30

451 = 45

3) Multiplicación de potencias con la misma base

El producto de potencias con base idéntica es igual a una potencia de igual base, elevada a la suma de los exponentes.

Por ejemplo,

24 · 22 · 24 = 2(4 + 2 + 4) = 210

4) División de potencias con la misma base

Cuando se dividen potencias con la misma base y exponentes diferentes, el cociente es igual a otra potencia con la misma base elevada a la suma de los exponentes.

Por ejemplo,

44 : 42 = 4(4 - 2) = 42

5) Multiplicación de potencias con el mismo exponente

El producto de dos o más potencias diferentes con igual exponente es igual al producto de las bases elevado al mismo exponente.

Por ejemplo:

32 · 22 · 32 = (3 · 2 · 3)2 = 182

6) División de potencias con el mismo exponente

El cociente entre dos potencias con base diferentes e igual exponente resulta en el cociente de las bases elevado al mismo exponente.

Por ejemplo,

82 : 22 = (8 : 2)2 = 42

7) Potencia de una potencia

La potencia de una potencia resulta en otra potencia con la misma base elevada al producto de los exponentes.

Por ejemplo:

(83)3 = 8(3 · 3) = 8

Leyes de los radicales

La ley de los radicales se trata de una operación matemática que nos permite hallar la base a través de la potencia y el exponente.

Los radicales son las raíces cuadras que se expresan de la siguiente manera √, y consiste en conseguir un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado lo que está en la expresión numérica.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 se expresa de la siguiente manera: √16 = 4; esto significa que 4.4 = 16. En este caso no es necesario indicar el exponente dos en la raíz. Sin embargo, en el resto de las raíces sí.

Por ejemplo:

La raíz cúbica de 8 se expresa de la siguiente manera: 3√8 = 2, es decir, 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Otros ejemplos:

n√1 = 1, ya que todo número multiplicado por 1 es igual a sí mismo.

n√0 = 0, ya que todo número multiplicado por 0 es igual a 0.

1. Ley de cancelación del radical

Una raíz (n) elevada a la potencia (n) se cancela.

Ejemplos:

(n√a )n = a.

(√4 )2 = 4

(3√5 )3 = 5

2. Raíz de una multiplicación o producto

Una raíz de una multiplicación se puede separar como una multiplicación de raíces, sin importar el tipo de raíz.

Ejemplos:

3. Raíz de una división o cociente

La raíz de una fracción es igual a la división de la raíz del numerador y de la raíz del denominador.

Ejemplos:

4. Raíz de una raíz

Cuando dentro de una raíz hay una raíz se pueden multiplicar los índices de ambas raíces a fin de reducir la operación numérica a una sola raíz, y se mantiene el radicando.

Ejemplos:

5. Raíz de una potencia

Cuando se tiene dentro de una raíz un número elevado un exponente, se expresa como el número elevado a la división del exponente entre el índice del radical.

Ejemplos:

Suma de monomios

A continuación se muestra algunos ejemplos para comprender la suma de monomios de una manera básica:

Sumar los monomios 4z, 2s y 3p. Ya que el orden de los sumandos no altera la suma, el resultado puede ser:
4z + 2s + 3p
2s + 4z + 3p
3p + 2s + 4z
Sumar los monomios 3a, 4ab y 2a. Como se puede observar es posible agrupar 3a y 2a, no es posible agrupar 4ab ya que el término no tiene de incógnita las mismas letras (en este caso se tiene la letra b de más). El resultado sería:
3a + 4ab + 2a = 5a + 4ab
Sumar y restar monomios es muy común y normalmente se suele incluir dentro de un paréntesis el sumando negativo, por ejemplo: Sumar los monomios 3a, 6b y –2a.
3a + 6b + (–2a) = 3a + 6b – 2a = a + 6b

Suma de polinomios

Para una mejor representación de la suma de polinomios es recomendable incluir cada polinomio dentro de paréntesis.

Sumar los polinomios a + 3b, 2a + 3ab y 4b + 2ab.
(a + 3b) + (2a + 3b) + (4b + 2ab) = a + 3b + 2a + 3b + 4b + 2abAhora se debe simplificar la anterior expresión algebraica, como resultado será:
3a + 7b + 5ab
Sumar los polinomios 3a + 2b y 4b – 2a
(3a + 2b) + (4b – 2a) = 3a + 2b + 4b – 2aSimplificando la anterior expresión, el resultado será:
a + 6b

Resta de monomios

A continuación se muestran diferentes ejemplos posibles en la resta de monomios:

De 6b restar 3b. Determinando el minuendo +6b con su signo y posteriormente el sustraendo +3b con el signo de resta será:
6b – (3b) = 6b – 3b = 3b
De 18c restar 9a. Determinando el minuendo +18c con su signo y posteriormente el sustraendo +9a con el signo de resta será:
18c – (9a) = 18c – 9a
En este caso no es posible simplificar ya que cada término tiene diferente letra.
De –13a²b restar 5a²b. Determinando el minuendo –13a²b con su signo y posteriormente el sustraendo +5a²b con el signo de la resta será:
–13a² – (5a²b) = –13a²b – 5a²b = –18a²b
De –8x²y restar –4ax². Determinando el minuendo –8x²y con su signo y posteriormente el sustraendo –4ax² con el signo de la resta será:
–8x²y – (–4ax²) = –8x²y + 4ax²
Se recomienda que el primer término sea el positivo, por lo tanto, es posible reacomodar el resultado de la siguiente manera:
4ax² – 8x²yesta de polinomios

En la resta de monomios en realidad consiste en cambiar el signo del sustraendo, es recomendable analizar con paréntesis ya que en la resta de polinomios el signo de la resta afecta a todo el sustraendo, por lo tanto, se estaría empleando el mismo método realizado.

De 3x + 4y + 11w restar 2x + 3y + 8w.
3x + 4y + 11w – (2x + 3y + 8w) = 3x + 4y + 11w – 2x – 3y – 8w
El resultado después de agrupar los términos semejantes será:
x + y + 3w

Para una mejor estructuración se recomienda analizar la resta en un acomodo de columna de modo que los términos semejantes estén uno sobre otro.

De 5xy² + 6y + 8w restar 5xy² + 3y. Ya que el signo de la resta afecta a todo el polinomio se tendría: – (5xy² + 3y) = – 5xy² – 3y
5xy² + 6y + 8w–(5xy² + 3y) 0 + 3y + 8w

Nota: Como se puede observar se emplea suma y resta para la solución de problemas algebraicos.

De 3xy² – 5x²y – 8x³ restar 5x²y + 8x³ – 3xy². Ya que el signo de la resta afecta a todo el polinomio se tendría: – ( 5x²y + 8x³ – 3xy²) = – 5x²y – 8x³ + 3xy².

–5x²y – 8x³ + 3xy²–(5x²y + 8x³ – 3xy²)–10x²y – 16x³ + 6xy²

Para comprobar el resultado es el mismo método que la resta en aritmética, la diferencia (resultado) con el sustraendo debe dar el minuendo, por lo tanto, se hace una suma:

–10x²y – 16x³ + 6xy² 5x²y + 8x³ – 3xy² –5x²y – 8x³ + 3xy²Un monomio es una expresión que está formada solamente por un solo término algebraico, como por ejemplo:

P(x) = 4x²
j(x,y,z) = 5x3y4z2
q(x,y) = x³y²

La expresión p(x,y) = x²y + xy, no es un monomio, pues tiene más de un término algebraico.

CÓMO MULTIPLICAR Y DIVIDIR UN MONOMIO

Para lograr efectivamente la multiplicación y división de monomios, primero debemos tener en cuenta el signo, después los coeficientes y por último las potencias.

Ejemplo 1: Multiplicar los siguientes monomios (5x³y) × (- 3y4z)

Recordando la propiedad de la potencia na × nb = na + b, tenemos:

(5x³y) × (- 3y4z) = – 15x3y5z

Ejemplo 2: Realizar la siguiente división de monomios (8x3y3z4t) ÷ (-2xy2z2)

Recordando las propiedades de potencias na × nb = na + b y 1/na = n-a, tenemos:

(8x3y3z4t) ÷ (-2xy2z2) = -4x2yz2t

Ejemplo 3: Multiplicar los siguientes monomios (3x²y) × (7xy).

Recordando la propiedad de la potencia na × nb = na + b, tenemos:

(3x²y) × (7xy) = 21x³y²

Ejemplo 4: Realizar la siguiente división de monomios (6x²y³) ÷ (-2xy).

Recordando las propiedades de potencias na × nb = na + b y 1/na = n-a, tenemos:

(6x²y³) ÷ (-2xy) = -3xy²

Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Factorización

La factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una expresión matemática o un número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos de la multiplicación y el resultado se conoce como producto.

Tipos de factorización

En líneas generales, podemos hablar de dos tipos de factorización: la factorización de números enteros y la factorización de expresiones algebraicas.

Factorización en números primos

Todo número entero se puede descomponer en sus factores primos. Un número primo es aquel que es divisible unicamente entre 1 y el mismo. Por ejemplo, el 2 solo se puede dividir entre 1 y 2.

Podemos descomponer un número dado X como la multiplicación de sus factores primos. Por ejemplo, el número 525 es igual a la multiplicación de 5².3.7.

Factorización de expresiones algebraicas

El objetivo de la factorización es llevar un polinomio complicado y expresarlo como el producto de sus factores polinomiales simples.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Por ejemplo:

Los factores son:

Cómo factorizar

Cuando hablamos de factorizar, podemos seguir las siguientes recomendaciones:

Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes términos.
Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las posibilidades de factorización.
Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de expresiones que no pueden ser descompuestas en factores.
Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.